Analyse Modale des Guitares: Modes, Damping & Coupling

Les fondamentaux des modes de guitare

Concepts modaux de base

Définition Modale : L’analyse Modale (Analyse Modale) est une théorie et une méthode pour étudier les caractéristiques de vibration inhérentes aux structures. Elle comprend principalement des paramètres tels que la fréquence modale, la forme modale, le rapport d’amortissement, la masse modale, les rigidités modales et le facteur de participation modale. Pour les systèmes linéaires, chaque mode peut être compris comme une forme de vibration spatiale qui est le plus susceptible de se produire près d’une certaine fréquence naturelle de la structure.

Un modèle mass-spring montrant la masse, la rigidité et l'équilibre du ressort, un point de départ pour des modèles de vibrations équivalents. — Un modèle mass-spring montrant la masse, la rigidité et l’équilibre du ressort, un point de départ pour des modèles de vibrations équivalents.
Source de l’image :MikeRun · CC BY-SA 4.0

Dans l’équation de la plaque, τ est le paramètre temps Kelvin-Voigt en secondes, et non le facteur de perte sans dimension η. Pour le mouvement harmonique dans ce modèle particulier, η(-)=-τ. La rigidité modale utilise l’expression pleine énergie de courbure isotrope; les vraies plaques en bois nécessitent une anisotropie, un brasage et des limites réelles. La relation qualité-facteur s’applique à un mode légèrement amorti et séparable.

Lorsque la structure est excitée près d’une certaine fréquence modale, si la position d’excitation et la direction correspondent à la forme du mode, le mode sera effectivement excité. La position dans la forme du mode où le déplacement est proche de zéro ou la phase inversée est appelée une ligne nodale ou une région de nœud; la région avec un grand déplacement est appelée une région anti-noeud. La vibration du haut de la guitare, du dos, de l’air de cavité et du système de chevalet n’est pas un simple mouvement d’une seule fréquence, mais le résultat du couplage de modes structuraux multiples et de modes d’air. La fréquence modale est principalement déterminée par la distribution de masse, la distribution de rigidité, les conditions limites et les relations de couplage du système.

Équations des problèmes de mouvement et de valeur propre: Dans un système élastique linéaire, les vibrations libres non ampliquées peuvent être décrites par l’équation différentielle suivante du mouvement (pour les systèmes linéaires légèrement amortis, toute réponse peut être étendue en une superposition linéaire des modes).

Que le déplacement généralisé du système soit q(r,t), alors

q(\mathbf r,t)=\sum_k\phi_k(\mathbf r)\eta_k(t),\quad\eta_k(t)=A_k\cos(\omega_{d,k}t+\varphi_k)e^{-\zeta_k\omega_{n,k}t},\quad\omega_{d,k}=\omega_{n,k}\sqrt{1-\zeta_k^2}

équation différentielle du mouvement d’un système élastique linéaire (vibrations libres non amputées):

[M]\{\ddot{x}\}+[K]\{x\}=\{0\}

[\begin{array}{cccc} m_{11} & m_{12} & \dots & m_{1 N} \\ m_{21} & m_{22} & \dots & m_{2 N} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ m_{N 1} & m_{N 2} & \dots & m_{N N} \end{array}] {\begin{array}{c} {\ddot{x}}_{1} \\ {\ddot{x}}_{2} \\ ⋮ \\ {\ddot{x}}_{N} \end{array}} + [\begin{array}{cccc} k_{11} & k_{12} & \dots & k_{1 N} \\ k_{21} & k_{22} & \dots & k_{2 N} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ k_{N 1} & k_{N 2} & \dots & k_{N N} \end{array}] {\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{N} \end{array}} = {\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{array}}

\begin{bmatrix} m_{11}&m_{12}&\cdots&m_{1n}\\ m_{21}&m_{22}&\cdots&m_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ m_{n1}&m_{n2}&\cdots&m_{nn} \end{bmatrix}

\begin{Bmatrix}\ddot{x}_1\\\ddot{x}_2\\\vdots\\\ddot{x}_n\end{Bmatrix}

\begin{bmatrix} k_{11}&k_{12}&\cdots&k_{1n}\\ k_{21}&k_{22}&\cdots&k_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ k_{n1}&k_{n2}&\cdots&k_{nn} \end{bmatrix}

\begin{Bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{Bmatrix}

\begin{Bmatrix}0\\0\\\vdots\\0\end{Bmatrix}

Facteur de participation modale et résonance : Lorsque la fréquence de l’excitation externe coïncide avec une certaine fréquence modale, la structure subit une résonance dans ce mode, entraînant une réponse vibrationnelle significative. Cependant, la force de la réponse par résonance dépend non seulement du degré d’accord de fréquence, mais aussi de l’"efficacité de couplage" de l’excitation au mode. Ceci est mesuré par le Facteur Modal de Participation : Pour une force d’excitation ou un facteur de déplacement dans une direction donnée, le facteur Modal de participation est une quantité scalaire indiquant le degré de participation de ce mode à la réponse globale de la structure. Si le facteur de participation d’un certain mode dans cette direction est important, lorsque la fréquence d’excitation est proche de sa fréquence modale, le mode sera fortement excité de produire une réponse significative; le facteur de contribution modale est utilisé pour décrire la contribution d’un tel mode à la réponse sous une position d’excitation spécifique, la direction d’excitation et la quantité mesurée. Même si la fréquence d’excitation est proche d’une fréquence modale, le mode peut être faible dans la réponse mesurée si le point d’excitation se trouve près du noeud du mode ou si la direction d’excitation ne correspond pas au sens principal du mouvement du mode. Au contraire, si la position et la direction d’excitation sont très adaptées à la forme du mode, une réponse évidente peut se produire même si l’énergie d’entrée n’est pas grande. Par conséquent, la réponse dynamique réelle dépend non seulement de la proximité de la fréquence naturelle, mais aussi de la relation de correspondance spatiale entre l’excitation et la forme du mode.

Structure de guitare acoustique et principaux composants de résonance

La guitare acoustique (y compris la guitare classique et la guitare acoustique à cordes d’acier) est une structure acoustique complexe, qui est composée de cordes , chevalet , tableau de son (panel) , plaque arrière , panneaux latéraux (murs latéraux du corps) , bretelles , trou sonore et l’air dans la cavité. Chaque partie joue un rôle différent dans la vibration modale de la guitare :

Un écran de guitare à l'intérieur de l'usine Taylor, montrant la relation entre le top bracting et le corps. — Un écran de guitare à l’intérieur de l’usine Taylor, montrant la relation entre le top bracting et le corps.
Source de l’image :C’est moi. · CC BY-SA 2.0

Soundboard (panel) : Le sonboard est le principal composant de rayonnement structural de la guitare. La force et la vitesse d’entrée des cordes dans la table d’harmonie à travers le chevalet, ce qui fait vibrer la table d’harmonie, puis l’énergie sonore est rayonnée vers l’extérieur par le mouvement de l’air à la surface de la table d’harmonie et près du trou sonore. Le mode principal à faible ordre de la table d’harmonie se manifeste généralement par une agitation en phase de grande surface, qui a certaines caractéristiques de « piston approximatif », de sorte que l’efficacité du rayonnement est élevée; mais la vraie table d’harmonie n’est pas un piston rigide, mais une mince plaque anisotrope complexe avec des contraintes de flexion, de torsion, de vibration locale et d’armature. L’épaisseur de la planche, le cambre, le module élastique longitudinal et transversal du bois, la densité, l’amortissement, la disposition des armatures et la masse du chevalet affecteront considérablement sa fréquence modale et sa forme de vibration.
Dos : Le dos est la planche en bois à l’arrière de la guitare, généralement faite de bois dur (comme le palissandre, etc.), et est généralement légèrement plus épais que la table d’harmonie. Le dos a également ses propres modes de flexion et peut être couplé à la table d’harmonie à travers les voies structurales des panneaux latéraux et la pression d’air de cavité. Lors de la discussion de la phase du panneau et du panneau arrière, il est nécessaire de définir d’abord la direction: Si la direction normale extérieure de chacun est positive, alors le panneau et le panneau arrière «bombiront vers l’extérieur en même temps» et le volume de la cavité de la guitare augmentera, et «rétracter vers l’intérieur en même temps" réduira le volume de celle-ci. Ce mouvement couplera fortement l’air de la cavité; si la direction de la même coordonnée spatiale est positive, la description de la phase sera opposée. Par conséquent, lors de l’analyse du couplage entre le plan arrière et le panneau, vous ne pouvez pas simplement dire "en phase" ou "anti-phase", vous devez également spécifier la direction de référence. La résonance de la plaque arrière n’est généralement pas uniquement responsable du son d’une guitare, mais elle peut affecter le pic, la largeur et la désintégration de la réponse basse et moyenne. Une participation modérée au panneau arrière peut augmenter la plénitude et l’air du son; si un certain mode de panneau arrière est excessivement concentré avec le panneau et les modes d’air, il peut causer certains emplacements anormalement proéminents ou atténués.
Panneau latéral : Le panneau latéral est la paroi latérale qui relie le table d’harmonie et le panneau arrière pour former la cavité du corps. Il est généralement fait de feuillus et plié dans la forme du corps. La plaque latérale elle-même est relativement étroite et a une rigidité élevée. Il est généralement considéré comme une limite rigide approximative dans les modes à faible ordre, limitant et guidant les conditions de la limite des vibrations de la table d’harmonie et de la plaque arrière. La fonction principale des plaques latérales est de former le volume et la forme de la boîte de résonance, qui affecte la fréquence du mode air (par exemple, le volume de la cavité de guitare affecte la fréquence de résonance Helmholtz). Les panneaux latéraux eux-mêmes ont aussi des modes de flexion à haute fréquence, mais en raison de leur structure en forme d’arc et de leur connexion étroite avec le panneau de son/arrière, ces modes ont un impact relativement faible sur le rayonnement sonore global. Elles apparaissent généralement comme des vibrations locales à haute fréquence et ne sont pas la principale source de rayonnement sonore.
Braces : Les Braces sont des bandes minces en bois collées à l’intérieur de la table et de la plaque arrière pour renforcer la structure et ajuster les motifs de vibration.Différents types de guitares utilisent différents agencements de brasage (par exemple, les guitares classiques utilisent principalement des soutiens en forme de ventilateur, guitares à cordes d’acier utilisent surtout des soutiens X, etc.). Le brasage modifie de façon significative la rigidité locale, la distribution de masse et les voies d’écoulement de l’énergie des vibrations, ce qui affecte les fréquences modales, les emplacements des lignes nodales et le zonage du mode. Dans certains modes, la ligne de nœud peut être proche de l’armature ou guidée par la direction de l’attache, mais la position de l’entrelacement n’est pas nécessairement la ligne de noeud. La fonction plus précise de l’armature est de modifier la rigidité de flexion équivalente, le degré d’anisotropie et la relation de couplage locale du panneau, réglant ainsi indirectement la fréquence modale, la forme du mode et l’efficacité du rayonnement. Par exemple, l’armature X fait vibrer la table de son le long d’un Overall, la disposition de l’armature est un moyen important de contrôler les modes : vous pouvez affiner la fréquence d’un mode spécifique en parcourant l’épaisseur et la forme de l’attache, de sorte que la guitare puisse obtenir la réponse souhaitée sur la basse ou le tréble.
Un couple de résonance à faible concentration d’air avec le haut et le dos; sa fréquence varie avec le volume de cavité, le trou sonore et la structure. 80-120 Hz est une gamme d’exemple pour certaines guitares, près de E2 (82.41 Hz) jusqu’à sous B2 (123.47 Hz), pas une spécification d’acceptation. Le débit d’air et la phase de la plaque dépendent de la fréquence, du mode et de la direction positive choisie, et non d’une analogie de respiration statique. La résonance peut améliorer le rayonnement tout en augmentant la perte d’énergie des cordes; basse plus forte ne garantit pas plus de maintien.
Les cordes et le chevalet : Les cordes sont la source sonore directe de la guitare, et les cordes sont arrachées par le guitariste pour stimuler les vibrations. La fréquence de vibration d’une corde ouverte est déterminée par la longueur, la tension et la densité linéaire de la corde, et produit une série d’harmoniques.La vibration de la corde elle-même ne rayonne guère directement à l’air (en raison du diamètre mince de la corde et de l’impédance médiocre), mais la vibration de la chaîne transmet la force à la table de son à travers le chevalet, conduisant ainsi toute la boîte de résonance à vibrer. Le chevalet est lié à la surface de la table d’harmonie et est l’interface de connexion entre les chaînes et la table d’harmonie. Sa masse et sa rigidité affectent également le mode de la table d’harmonieore : le chevalet augmente la masse locale de la table d’harmonie, réduit la fréquence de certains modes de la carte, et affecte la distribution locale des formes de vibrations. Le spectre de l’excitation de la passerelle à cordes est très large, mais la réponse de la boîte de résonance de guitare à différentes fréquences n’est pas uniforme – elle agit comme un filtre et un convertisseur de rayonnement, redistribuant l’entrée d’énergie par les cordes entre différents modes et la sortie comme son. Parmi eux, les composants de vibration qui correspondent à la fréquence modale de la guitare sont significativement augmentés et effectivement irradiés en son audible, tandis que les composants qui ne tombent pas près de la fréquence de résonance sont relativement supprimés. Par conséquent, le timbre global de la guitare est étroitement lié à la structure modale: si la fréquence fondamentale ou la tonalité de la chaîne correspondant à un certain pas se trouve être proche de la fréquence modale, le son sera particulièrement fort, avec une attaque rapide et claire transitoire; inversement, s’il n’y a pas de support de résonance près d’un certain son, il sonnera faible ou aura un court maintien. La distribution modale des fréquences d’une guitare bien conçue devrait couvrir la plage de pas de cordes aussi uniformément que possible, avec un support modal des notes les plus basses aux plus élevées, pour assurer un volume équilibré et un timbre uniforme dans chaque zone sonore.

Chaîne flexible idéale (pas de raideur en flexion), chaîne de traction avec portée L (tension T, densité de ligne μ=ρA), petite vibration transversale de déviation satisfait l’équation d’onde:

\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\qquad c=\sqrt{\frac{T}{\mu}}

Limite d’extrémité fixe u(0,t)=u(L,t) =0. La solution propre est:

u_n(x,t)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos(\omega_nt+\varphi_n),\qquad \omega_n=\frac{n\pi c}{L}

La fréquence correspondante est:

f_n=\frac{\omega_n}{2\pi}=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}},\qquad n=1,2,\dots

Les cordes métalliques réelles ont une rigidité de flexion à l’aide de l’équation unidimensionnelle étendue Euler-Bernoulli:

\mu\frac{\partial^2u}{\partial t^2}+EI\frac{\partial^4u}{\partial x^4} =T\frac{\partial^2u}{\partial x^2}

où E est le module de Young et je suis le deuxième moment de la zone. La fréquence eigen est approximativement:

\omega_n\approx\frac{n\pi}{L}\sqrt{\frac{T}{\mu}} \sqrt{1+\frac{\pi^2EI}{TL^2}n^2}

f_n\approx\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}\sqrt{1+Bn^2},\qquad B=\frac{\pi^2EI}{TL^2}

Le B est le coefficient de dissonance , ce qui provoque une déviation des tonalités par des multiples entiers.

En général, les composants structuraux de la guitare acoustique forment un système de vibration modale complexe par couplage mutuel: les cordes fournissent une excitation, et le chevalet combine l’excitation à la table d’harmonie; la table son, le dos et les panneaux latéraux forment une cavité en bois pour fournir une élasticité structurale; le trou sonore et l’air interne fournissent une résonance acoustique de cavité. Les vibrations de l’ensemble du système s’associent à l’air ambiant et sont en fin de compte irradiées sous forme de son. La qualité d’une guitare dépend en grande partie de la distribution de ces fréquences modales et de ces formes de vibrations, et de leur adéquation avec les fréquences sonores des cordes. Pendant le processus de conception et de réglage, les luthiers prêteront attention aux paramètres matériels et structuraux des principaux composants résonants (p. ex. épaisseur de la table d’harmonie, éclaircissement de bras, taille du trou sonore, etc.) pour ajuster la fréquence modale et la forme des vibrations afin de façonner les caractéristiques sonores de la guitare.

Modélisation mathématique de l’analyse modale

Modélisation des éléments finis : L’analyse modale de la guitare nécessite généralement l’établissement d’un modèle mathématique à l’aide de la méthode des éléments finis (FEM). Étant donné que la structure de la guitare comprend plusieurs structures/médias, tels que des plaques minces (plaque, plaque arrière), des coquilles (plaques latérales), des poutres (poutres de brasage, cous, etc.) et des cavités d’air fermé, il est plus compliqué de simuler avec précision. Dans le modèle d’élément fini, la table d’harmonie et la plaque arrière sont souvent discrétisées en éléments de coque ou de plaque (en tenant compte des constantes élastiques en bois anisotrope, parce que la rigidité du bois le long de la direction du grain et perpendiculaire à celle du grain est très différente), les plaques latérales peuvent être définies comme limites de cadre avec les éléments de coque, et les poutres d’armature comme raidisseurs peuvent être modélisées avec des éléments de faisceau ou des éléments de coque équivalents. Une rigidité de masse supplémentaire locale telle que le chevalet devrait également être incluse dans le modèle. Pour l’analyse des modes acoustiques, il est nécessaire de modéliser l’air à l’intérieur de la cavité de la guitare, par exemple en utilisant des éléments finis (éléments fluides) du champ sonore pour remplir la cavité, et en fixant des conditions limites ouvertes au trou sonore pour se connecter au monde extérieur. Ce modèle de couplage fluide-structure peut calculer simultanément le mode naturel de la boîte de structure en bois et le mode naturel des cavités d’air, ainsi que le mode couplé des deux. Cependant, l’ensemble du modèle est intensif en calcul, surtout lorsqu’il inclut le champ sonore de rayonnement dans l’espace extérieur infini, qui peut être résolu plus avant à l’aide de la méthode de l’élément limite (BEM). Par conséquent, la simplification est souvent utilisée dans la recherche: par exemple, en supposant d’abord une boîte rigide pour calculer la fréquence du mode air A0, puis en simulant la flexibilité aérodynamique par des ressorts de masse concentrés dans le modèle structurel, ou en ne considérant que les quelques premiers modes couplés, etc., pour réduire la complexité computationnelle.

Courbes de résonance d'oscillation forcée: l'axe horizontal est la fréquence de conduite divisée par la fréquence naturelle, et D est le rapport d'amortissement. C'est un modèle, pas une réponse de guitare mesurée. — Courbes de résonance d’oscillation forcée: l’axe horizontal est la fréquence de conduite divisée par la fréquence naturelle, et D est le rapport d’amortissement. C’est un modèle, pas une réponse de guitare mesurée.
Source de l’image :Geek3 · CC BY 3.0

Un modèle à faisceaux avec les moments d'extrémité M et les paramètres de matériau, de longueur et de coupe transversale utilisés pour décrire la flexion structurelle. — Un modèle à faisceaux avec les moments d’extrémité M et les paramètres de matériau, de longueur et de coupe transversale utilisés pour décrire la flexion structurelle.
Source de l’image :Nicoguaro · CC0

Les modes plus élevés ont souvent plus de lignes nodales, mais l’ordre, la fréquence et la forme doivent être définis pour la structure réelle, non empruntés directement à une plaque régulière. Les régions en phase opposée affectent l’interférence; le rayonnement dépend également de l’échelle spatiale par rapport à la longueur d’onde et aux vitesses de surface. Les modes plus élevés ne sont pas nécessairement des radiateurs faibles ou sans rapport avec l’intensité sonore. La troncation du modèle doit suivre la bande cible et les mesures, et non l’hypothèse que tout au-dessus de 1000 Hz est sans importance.

La superposition modale exprime la réponse comme une somme de contributions dans un modèle linéaire approprié; le découplage en modes réels classiques nécessite également des conditions d’amortissement appropriées. L’orthogonalité est une relation mathématique au sein d’un modèle fixe. Cela ne signifie pas qu’un support ou un changement matériel peut régler un mode indépendamment sans affecter les autres. Les changements structurels modifient souvent plusieurs fréquences, formes et niveaux de participation et nécessitent de nouvelles mesures ou de nouveaux calculs.

Voici un regard sur l’amortissement, le facteur de qualité et l’atténuation. Facteur de qualité:

f_n\approx\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}\sqrt{1+Bn^2},\qquad B=\frac{\pi^2EI}{TL^2}

Le Q de la corde est déterminé par une combinaison de frottement interne du matériau, d’impédance mécanique correspondant au chevalet, et d’accouplement radiatif avec l’air/panel.

Formes de mode typiques et leur impact sur le timbre

La guitare acoustique a de nombreux modes répartis dans toute la gamme de fréquences audibles. Les suivants sélectionnent plusieurs modes typiques pour illustrer leurs caractéristiques de forme de vibration et les fréquences correspondantes, ainsi que leur contribution au sonorité de la guitare.

Chiffres de Chladni sur une plaque métallique : les particules révèlent des lignes nodales dans une démonstration de vibration de plaque, pas un mode de guitare mesuré.
Source de l’image :Rodrigo Tetsuo Argenton; exposition : Estes Objethos Atelier · CC BY-SA 4.0

Guitare acoustique avec un haut en épicéa de griffe d'ours (vue de face) — motif de rayures de l’ours

Un couple de résonance à faible concentration d’air avec le haut et le dos; sa fréquence varie avec le volume de cavité, le trou sonore et la structure. 80-120 Hz est une gamme d’exemple pour certaines guitares, près de E2 (82.41 Hz) jusqu’à sous B2 (123.47 Hz), pas une spécification d’acceptation. Le débit d’air et la phase de la plaque dépendent de la fréquence, du mode et de la direction positive choisie, et non d’une analogie de respiration statique. La résonance peut améliorer le rayonnement tout en augmentant la perte d’énergie des cordes; basse plus forte ne garantit pas plus de maintien.

Le mode principal n’a pas de fréquence fixe indépendante de la cavité et du dos. Le couplage change les fréquences et les formes; certaines résonances structurales proéminentes se produisent entre 180 et 250 Hz, mais la comparaison nécessite des instruments, des limites et des méthodes d’excitation. Une note telle que G3 à 196 Hz n’est pas une cible de qualité universelle, et les valeurs de 188/203 Hz sans ressources ne sont pas des résultats généraux. Le rayonnement dépend également des vitesses de surface, des phases et de l’interférence.

D’une manière générale, les modes de différents ordres contribuent au son de la guitare : les modes à faible ordre (vide d’air, tableau de son principal, etc.) déterminent les caractéristiques fondamentales de la courbe de réponse et de la résonance du son, les modes à moyen ordre (modes de plusieurs centaines d’Hertz) enrichissent le timbre et la projection de la bande à moyenne fréquence, et les modes à haut ordre donnent au son des tonalités et de la texture uniques. Une guitare bien conçue devrait avoir ces modes bien répartis et décalés le long de l’axe de fréquence pour éviter d’avoir certains emplacements non supportés par résonance ou ayant des résonances trop empilées à certaines fréquences. Les luthiers expérimentés "tunent" la table d’harmonie et la plaque arrière pendant la production afin que leurs fréquences de mode fondamental évitent la relation des multiples entiers du son musical, et en même temps dispersent les fréquences de mode de plus haut ordre, de sorte que la guitare a une réponse de résonance modérée aux notes partout sur le manche, et obtient un timbre équilibré et varié.

Ci-dessous, nous fournissons quelques explications mathématiques du panneau arrière et de la cavité.

Le placage est approximatif comme une mince plaque isotrope (hypothèse de Kirchhoff–Love), avec l’épaisseur h, la densité ρ , le module E de Young et le rapport Poissons /. La déflection w(x,y,t) satisfait:

D\nabla^4w+\rho_ph\frac{\partial^2w}{\partial t^2} +\tau D\nabla^4\!\left(\frac{\partial w}{\partial t}\right)=p(x,y,t)

dans:

D=\frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}

D est la rigidité de flexion de la plaque, eta est le facteur de perte de structure, et p est la différence de pression des deux côtés de la plaque. Les conditions limites sont déterminées par les connexions entre l’armature, les poutres et les panneaux latéraux; le panneau réel avec l’armature est un panneau anisotrope non uniforme.

L’écriture de la superposition modale:

w(x,y,t)=\sum_k\phi_k(x,y)\eta_k(t),\qquad M_k\ddot{\eta}_k+C_k\dot{\eta}_k+K_k\eta_k=F_k(t)

Parmi eux:

M_k=\iint\rho_p h\phi_k^2\,dS,\quad K_k=\iint D[\phi_{k,xx}^2+\phi_{k,yy}^2+2\nu\phi_{k,xx}\phi_{k,yy}+2(1-\nu)\phi_{k,xy}^2]\,dS,\quad F_k=\iint p\phi_k\,dS

Le motif Chladni (méthode de sable) montre en fait les lignes de nœuds (réfléchissant la disposition contrainte/faisceau).

Pour le mode cavité, l’air dans la cavité satisfait à l’équation suivante:

\nabla^2p-\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2p}{\partial t^2}=0

Le trou sonore d’une guitare est semblable à une cavité du cou court, et la fréquence de résonance principale basse fréquence (Helmholtz) satisfait à l’équation suivante:

f_H=\frac{c_0}{2\pi}\sqrt{\frac{A}{VL_{\mathrm{eff}}}}

Les modifications de la position et de la profondeur du volume et du trou sonore affecteront cette fréquence.

Ensuite, nous considérons le couplage. En prenant comme exemple le lieu où le chevalet et le sommet sont en contact, la vitesse transversale de bout de corde V a est continue avec la vitesse de chevalet/haut V b. L’équation du bilan de force est la suivante:

F_b(\omega)=Z_b(\omega)v_b(\omega)=-F_s(\omega)

dans:

Y_b(\omega)=\frac{v_b}{F_b}

est l’admission au point de chevalet (ou sensibilité mécanique), la somme du mode linéaire:

Y_b(\omega)=\sum_k \frac{i\omega\phi_k(\mathbf b)^2} {M_k\left(\omega_k^2-\omega^2+i2\zeta_k\omega_k\omega\right)}

L’amortissement équivalent à l’extrémité de la chaîne est significativement affecté par Y b: quand ↓ approche du mode panneau, l’énergie est couplée plus rapidement, c’est-à-dire "certains sons sont plus forts et plus courts."

Ensuite, nous regardons le couplage du panneau à l’air de la cavité. Laisser le champ de vitesse normale du panneau être V n(x,y,-) , la vitesse de volume de cavité U cav et la vitesse de vol de trou acoustique U trou satisfaire:

U_{\mathrm{cav}}(\omega)=\iint v_n\,\mathrm{d}S,\qquad U_{\mathrm{hole}}(\omega)=\frac{p_{\mathrm{cav}}(\omega)}{Z_{\mathrm{neck}}(\omega)}

Z_{\mathrm{neck}}(\omega)\approx i\omega\rho_0\frac{L_{\mathrm{eff}}}{A}

p_{\mathrm{cav}}(\omega)= \frac{U_{\mathrm{cav}}-U_{\mathrm{hole}}}{i\omega C_{\mathrm{air}}}

En combinant les équations ci-dessus, on peut obtenir le modèle classique de couplage de deux (ou trois) degrés de liberté, et on peut obtenir la fréquence et l’efficacité des rayonnements en mode synthétique à basse fréquence, en mode "cavité", en mode "anti-phase/en phase".

Ensuite, nous regardons les radiations sonores et la sonorité. La sonorité perçue d’une guitare est liée à la pression sonore de terrain lointain. Dans le domaine de la fréquence, la puissance acoustique apparente normale du panneau est approximativement:

\Pi(\omega)\approx\frac{\rho_0c_0}{2}\iint \sigma(\mathbf r,\omega)\lvert v_n(\mathbf r,\omega)\rvert^2\,\mathrm{d}S

Parmi eux, on trouve le rendement du rayonnement (en relation avec le nombre d’ondes k=γ/c 0, la vitesse de phase des ondes de plaques et le degré correspondant d’ondes structurales et d’ondes acoustiques de l’air). La basse fréquence est principalement dominée par le composant du piston (vitesse de volume globale) et le jet de trou acoustique; les fréquences moyennes et élevées sont fournies par les modes d’ordre élevé de la plaque.

Mesure expérimentale et visualisation des formes modales

Afin d’étudier plus avant et de vérifier les formes du mode guitare mentionnées ci-dessus, les scientifiques et les luthiers ont utilisé une variété de méthodes expérimentales pour visualiser les modes de vibration.

Une plaque triangulaire de Chladni à Matemateca : les particules se rassemblent le long des lignes nodales, rendant visible une forme mode — Une plaque triangulaire Chladni à Matemateca : les particules se rassemblent le long des lignes nodales, rendant visible une forme mode. Ceci démontre la vibration de la plaque en général, pas un mode de table de guitare mesuré.
Source de l’image :Rodrigo Tetsuo Argenton; exposition : Estes Objethos Atelier · CC BY-SA 4.0

Chladni motif: sable fin se rassemble le long des lignes nodales d'une table de son vibrante, révélant la géométrie du mode vibration

Conseil de kradny

Méthode Chladny : L’expérience la plus classique de l’histoire est l’expérience Chladnie Figurine. Saupoudrer le sable fin ou les feuilles de thé sur la surface du table d’harmonie, et utiliser un haut-parleur pour balayer la fréquence pour exciter toute la guitare ou un table d’harmonie séparé. À certaines fréquences (fréquences de résonance), la vibration provoque l’ébranlement des grains de sable vers les lignes des nœuds, formant ainsi un motif de vibration visible. Cette méthode est simple à utiliser. Dès le XIXe siècle, le physicien Chladni l’utilisa pour observer la forme vibratoire de la plaque, d’où son nom. Pour les guitares, la méthode Kladni permet de mesurer la fréquence modale et la forme des vibrations de la table d’harmonie et de la plaque arrière avant le montage. Les luthiers utilisent ces modèles pour juger de l’effet des ajustements d’éclaircie ou d’armature de la table d’harmonie : une table d’harmonie symétrique produit un motif symétrique, et des lignes de nœuds anormalement asymétriques peuvent indiquer une asymétrie structurale ou matérielle inégale. Il convient de noter que les fréquences modales du panneau indépendant ne correspondent pas exactement aux fréquences modales de l’instrument assemblé, mais cette méthode peut fournir une rétroaction utile pendant le processus de production. La figure de Chladny montre principalement la topologie des noeuds des modes, qui est limitée pour la recherche quantitative, mais il s’est avéré très utile pour ajuster la résonance dans la lutherie réelle.
Méthode du marteau de force : enregistrer l’information modale à travers le patch du capteur d’accélération et le marteau d’excitation
Interférométrie holographique et ESPI: L’interférométrie laser holographique est une autre technologie de visualisation de haute précision des formes vibratoires. En mesurant interférométriquement les déplacements subtils de la surface vibrante, l’hologramme peut afficher le profil de déplacement égal de la vibration sous la forme d’un motif de frange. Par conséquent, la résolution spatiale est extrêmement élevée et des formes de vibrations complexes peuvent être clairement représentées. L’interférométrie électronique de speckle (ESPI) est une implémentation numérique de l’interférométrie holographique qui permet également l’observation en temps réel des modes vibratoires. Les chercheurs ont utilisé l’interférence holographique pour effectuer des mesures modales sur des instruments de musique comme les guitares, et les formes de vibrations obtenues correspondent bien aux résultats du calcul des éléments finis. Par exemple, Chatziioannou et al. ont vérifié l’exactitude des modalités simulées via ESPI sur des instruments comme la contrebasse et la viole. Pour les guitares, des méthodes similaires peuvent être utilisées pour observer les motifs de vibration de la table d’harmonie dans différents modes, y compris les déformations locales subtiles et les différences de phase, qui sont difficiles à voir directement à l’œil nu. L’avantage d’une interférence holographique est qu’elle peut obtenir des informations continues en plein champ sans placer de points sur la structure. Il est actuellement l’une des méthodes de visualisation modale avec la résolution spatiale la plus forte.
Analyse modal expérimentale et mesure des radiations acoustiques : En plus d’observer les formes directement, les chercheurs combinent souvent les mesures d’impédance avec les mesures de champ sonore. On peut mesurer l’admission ou l’impédance mécanique au chevalet en appliquant une force unitaire et en enregistrant la vitesse de vibration, ce qui révèle les fréquences modales et l’amortissement. Les réseaux de microphones peuvent simultanément cartographier le champ sonore irradié et identifier les modes à haut rendement de rayonnement. Ces mesures aident à déterminer quels modes contribuent le plus fortement à l’amélioration du son et du design de la guitare.

Test modal d'une guitare : excitation de l'impact-hammer avec spectres FFT et forme du mode à l'écran

Essais modaux

Vibromètre laser à balayage pour la mesure des vibrations de guitare

Essais modaux

En résumé, avec l’aide de techniques expérimentales modernes, nous sommes en mesure de « voir » les formes modales abstraites et de connecter des modèles théoriques au comportement réel des instruments. Ces outils non seulement vérifient l’existence et la forme de chaque mode de guitare mentionné ci-dessus (par exemple, le mode de respiration mesuré et le mode de table d’harmonie de la guitare sont très cohérents avec les prédictions calculées), mais fournissent également une base scientifique pour la fabrication et l’amélioration de guitare. Aujourd’hui, en plus du jugement empirique, les gens se réfèrent de plus en plus aux résultats d’essais modaux aux instruments de musique fins pour rendre leur réponse de fréquence plus idéale. Le secret du timbre de guitare acoustique est contenu dans les formes de mode riches et diverses : Grâce à l’analyse théorique de modélisation et à la visualisation expérimentale, nous avons approfondi notre compréhension de la façon dont ces modes vibrent dans différentes bandes de fréquences et en couple les uns avec les autres, et sommes plus près d’expliquer le problème entremêlé science et art de "pourquoi une bonne guitare sonne charmant".

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Conditions de la formule: la fréquence anguleuse naturelle non amputée; la fréquence de vibration libre sous-endommagée est la fréquence 0 ≤ la fréquence n < 1). L’amplitude se désintègre en exp(—-) ; l’énergie se désintègre comme son carré. Les estimations de la largeur de bande de la moitié de la puissance et de la lumière s’appliquent aux modes résolvables, et non à un pic de chevauchement arbitraire. L’approximation des cordes rigides prend des propriétés uniformes, une tension constante et des extrémités simplement supportées. Par rapport à son premier mode réel, fn/f1 = n √[(1+Bn2)/(1+B)]; la référence de corde flexible idéale n’est pas celle corrigée de la rigidité f1.

Sources et lectures complémentaires

Cette illustration interactive mélange les rapports de fréquence prescrits et les patrons sinusaux pour expliquer les nœuds, les antinœuds et l’échelle des paramètres. Il ne résout pas la plaque circulaire gratuite Bessel eigenvalues et n’est pas un mode de guitare mesuré. La couleur représente un déplacement illustratif et non une pression acoustique mesurée. Pour une plaque mince isotrope uniforme, la fréquence dépend également de l’épaisseur, du rayon, du rapport Poisson et des conditions limites. Ce n’est qu’avec ceux fixés que f=" √(E/ρ) décrit une tendance à l’échelle. Les valeurs et les modèles d’exemple ne sont pas des données d’acceptation de fabrication.

Kirchhoff–Énergie de courbure des plaques d’amour · Modèle de plaque Kelvin–Voigt