Модальный анализ гитар: моды, затухание и связь

Основы колебательных мод гитары

Основные модальные концепции

Модальный анализ (Modal Analysis) — теория и метод изучения вибрационных характеристик структур. Он в основном включает такие параметры, как частота модаля, форма модала, отношение демпфирования, модальная масса, модальная жесткость и фактор участия модала. Для линейных систем каждый режим может быть понят как пространственная вибрационная форма, которая, скорее всего, происходит вблизи определенной естественной частоты структуры.

Модель масс-пружин, показывающая массу, жесткость пружины и равновесие, отправная точка для эквивалентных моделей вибрации.
Источник изображения:Майк Рун · CC BY-SA 4.0

В уравнении пластины τ является параметром времени Кельвина-Войга в секундах, а не безразмерным коэффициентом потерь η. Для гармонического движения в этой конкретной модели, η(ω)=ωτ. Модальная жесткость использует полную изотропную экспрессию энергии кривизны; настоящие древесные плиты требуют анизотропии, крепления и фактических границ. Отношение «качество-фактор» относится к слегка затухшему, отделяемому режиму.

Когда структура возбуждается вблизи определенной модальной частоты, если положение возбуждения и направление соответствуют форме режима, режим будет эффективно возбуждаться. Положение в форме режима, где смещение близко к нулю или фаза обращена назад, называется узловой линией или областью узла; область с большим смещением называется областью антиузла. Вибрация гитарного верха, спины, полости воздуха и мостовой системы является не простым движением одной частоты, а результатом соединения нескольких структурных режимов и воздушных режимов. Модальная частота в основном определяется распределением массы, распределением жесткости, граничными условиями и связями связи системы.

Уравнения движения и собственные значения: В линейной упругой системе незатухающая свободная вибрация может быть описана следующим дифференциальным уравнением движения (для линейных, слегка затухающих систем любой ответ может быть расширен в линейную суперпозицию мод).

Пусть обобщённое смещение системы будет q(r,t), тогда

q(\mathbf r,t)=\sum_k\phi_k(\mathbf r)\eta_k(t),\quad\eta_k(t)=A_k\cos(\omega_{d,k}t+\varphi_k)e^{-\zeta_k\omega_{n,k}t},\quad\omega_{d,k}=\omega_{n,k}\sqrt{1-\zeta_k^2}

Дифференциальное уравнение движения линейной упругой системы (неограниченная свободная вибрация):

[M]\{\ddot{x}\}+[K]\{x\}=\{0\}

[\begin{array}{cccc} m_{11} & m_{12} & \dots & m_{1 n} \\ m_{21} & m_{22} & \dots & m_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ m_{n 1} & m_{n 2} & \dots & m_{n n} \end{array}] {\begin{array}{c} {\ddot{x}}_{1} \\ {\ddot{x}}_{2} \\ ⋮ \\ {\ddot{x}}_{n} \end{array}} + [\begin{array}{cccc} k_{11} & k_{12} & \dots & k_{1 n} \\ k_{21} & k_{22} & \dots & k_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ k_{n 1} & k_{n 2} & \dots & k_{n n} \end{array}] {\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}} = {\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{array}}

\begin{bmatrix} m_{11}&m_{12}&\cdots&m_{1n}\\ m_{21}&m_{22}&\cdots&m_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ m_{n1}&m_{n2}&\cdots&m_{nn} \end{bmatrix}

\begin{Bmatrix}\ddot{x}_1\\\ddot{x}_2\\\vdots\\\ddot{x}_n\end{Bmatrix}

\begin{bmatrix} k_{11}&k_{12}&\cdots&k_{1n}\\ k_{21}&k_{22}&\cdots&k_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ k_{n1}&k_{n2}&\cdots&k_{nn} \end{bmatrix}

\begin{Bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{Bmatrix}

\begin{Bmatrix}0\\0\\\vdots\\0\end{Bmatrix}

Модальный фактор участия и резонанс: когда частота внешнего возбуждения совпадает с определенной модальной частотой, структура будет подвергаться резонансу в этом режиме, что приведет к значительной вибрационной реакции. Однако сила резонансного отклика зависит не только от степени согласованности частот, но и от «эффективности сопряжения» возбуждения с режимом. Это измеряется модальным фактором участия: для входной силы возбуждения или смещения в заданном направлении, модальный фактор участия представляет собой скалярную величину, указывающую степень участия этого режима в общей реакции структуры. Если коэффициент участия определенного режима в этом направлении велик, когда частота возбуждения близка к его модальной частоте, режим будет сильно взволнован, чтобы произвести значительный ответ; модальный фактор участия используется для описания вклада определенного режима в ответ под определенным положением возбуждения, направлением возбуждения и измеренной величиной. Даже если частота возбуждения близка к модальной частоте, режим может быть слабым в измеренной реакции, если точка возбуждения расположена вблизи узла режима или если направление возбуждения не соответствует основному направлению движения режима. Напротив, если положение возбуждения и направление сильно соответствуют форме режима, может возникнуть очевидная реакция, даже если входная энергия невелика. Таким образом, фактическая динамическая реакция зависит не только от того, близка ли частота к естественной частоте, но и от пространственного соответствия между возбуждением и формой режима.

Акустическая гитарная структура и основные резонансные компоненты

Акустическая гитара (включая классическую гитару и стальную струнную акустическую гитаре) представляет собой сложную акустическую структуру, которая состоит из струн, подставки, верхней деки (панели), задней пластины, боковых панелей (боковых стенок корпуса), брекетов, звукового отверстия и воздуха в полости. Каждая часть играет разную роль в модальной вибрации гитары:

Интерьерный гитарный дисплей на заводе Тейлора, показывающий связь между верхним креплением и корпусом.
Источник изображения:Ричард · CC BY-SA 2.0

Soundboard (панель): верхняя дека является основным компонентом структурного звукового излучения гитары. Струны вводят силу и скорость в верхнюю деку через подставка, заставляя верхнюю деку вибрировать, а затем энергия звука излучается наружу движением воздуха на поверхности верхней деки и вблизи звукового отверстия. Низкопорядковый основной режим верхней деки обычно проявляется как внутрифазное перемешивание большой площади, которое имеет определенные «приблизительные поршневые» характеристики, поэтому эффективность излучения высока; но настоящая саундбар — это не жесткий поршень, а сложная анизотропная тонкая пластина с изгибом, кручением, локальной вибрацией и крепежными ограничениями. Толщина доски, камбер, продольный и поперечный упругий модуль древесины, плотность, демпфирование, компоновка крепления и масса подставки существенно повлияют на ее модальную частоту и форму вибрации.
Задняя часть — это деревянная доска на спине гитары, обычно сделанная из лиственного дерева (например, розового дерева и т. Д.), И обычно немного толще, чем верхняя дека. Задняя часть также имеет свои собственные режимы изгиба и может быть соединена с верхней декой через структурные пути боковых панелей и давление воздуха в полости. При обсуждении фазы панели и задней панели необходимо сначала определить направление: Если внешнее нормальное направление каждого положительно, то панель и задняя панель будут «выпираться наружу одновременно» и объем гитарной полости увеличится, а «убираясь внутрь в одно и то же время» уменьшит объем гиталийной полости. Это движение будет сильно связывать воздух полости; если направление одной и той же пространственной координаты положительное, фазовое описание будет противоположным. Поэтому при анализе связи между задней плоскостью и панелью нельзя просто сказать «в фазе» или «антифазе», необходимо также указать опорное направление. Резонанс задней панели обычно не несет единоличной ответственности за звук гитары, но он может повлиять на пик, ширину и распад низко- и среднебасовой реакции. Умеренное участие задней панели может увеличить полноту и воздушность звука; если определенный режим задней панели чрезмерно концентрирован с панелью и воздушными режимами, это может привести к тому, что некоторые смолы будут аномально заметными или ослабленными.
Боковая панель: боковая панель — это боковая стенка, которая соединяет верхнюю деку и заднюю панель для формирования полости тела. Он, как правило, сделан из лиственных пород дерева и согнут в форму тела. Сама боковая пластина относительно узкая и имеет высокую жесткость. Обычно рассматривается как приблизительная жесткая граница в низкопорядковых режимах, ограничивающих и направляющих вибрационные граничные условия верхней деки и задней пластины. Основной функцией боковых пластин является формирование объема и формы резонансной коробки, что влияет на частоту воздушного режима (например, объем гитарной полости влияет на резонансную частоту Гельмгольца). Сами боковые панели также имеют высокочастотные режимы изгиба, но из-за их дугообразной структуры и тесной связи со верхней декой / задней панелью эти режимы оказывают относительно небольшое влияние на общее звуковое излучение. Они обычно проявляются в виде локальных высокочастотных колебаний и не являются основным источником звукового излучения.
Брекеты: Брекеты — это стройные деревянные полосы, прикрепленные к внутренней части верхней деки и задней пластины для укрепления структуры и настройки вибрационных узоров.Различные типы гитар используют различные схемы крепления (например, классические гитары в основном используют брекеты в форме вентилятора, стальные струнные гитары главным образом используют X-брекеты и т. Д.). Брейсинг значительно изменяет локальную жесткость, распределение массы и вибрационные пути потока энергии, тем самым влияя на модальные частоты, узловые местоположения линий и зонирование режима. В некоторых режимах линия узла может быть близкой к фиксации или направляться направлением фиксации, но положение фиксации не обязательно является линией узла. Более точная функция крепления заключается в изменении эквивалентной жесткости изгиба, степени анизотропии и локального связывания панели, тем самым косвенно регулируя модальную частоту, форму режима и эффективность излучения. Например, X-брейсинг заставляет верхняя дека вибрировать вдоль В целом, компоновка крепления является важным средством управления режимами: вы можете точно настроить частоту конкретного режима, обрезая толщину и форму крепления, чтобы гитара могла получить желаемый отклик на бас или тройной.
Резонанс с низким преобладанием воздуха соединяется с верхней и задней частью; его частота изменяется с объемом полости, звуковой скважиной и структурой. 80-120 Гц является примерным диапазоном для некоторых гитар, около E2 (82,41 Гц) до уровня ниже B2 (123,47 Гц), а не спецификацией приемки. Поток воздуха и фаза пластины зависят от частоты, режима и выбранных положительных направлений, а не от статической аналогии дыхания. Резонанс может улучшить излучение, увеличивая потерю энергии струны; более сильный бас не гарантирует более длительную поддержку.
Струны и подставка: Струны являются прямым источником звука гитары, и струны вырываются игроком для стимуляции вибрации. Частота вибрации открытой струны определяется длиной струны, напряжением и линейной плотностью и производит серию гармоник.Вибрация самой струны едва излучает звук непосредственно в воздух (из-за тонкого диаметра струны и плохого соответствия импедансу), но вибрация струны передает силу на верхняя дека через подставка, тем самым заставляя вибрировать всю резонансную коробку. Мост прикреплен к поверхности верхней деки и является соединительным интерфейсом между струнами и саундбаром. Его масса и жесткость также влияют на режим верхней деки: подставка увеличивает местную массу саундбара, уменьшает частоту некоторых режимов саундтона и влияет на локальное распределение форм вибрации. Спектр возбуждения струнного подставки очень широк, но отклик гитарного резонансного ящика на разные частоты неоднороден — он действует как фильтр и преобразователь излучения, перераспределяя энергию, вводимую струнами между различными режимами, и выводя её как звук. Среди них вибрационные компоненты, соответствующие модальной частоте гитары, значительно усиливаются и эффективно излучаются в слышимый звук, в то время как компоненты, которые не падают вблизи резонансной частоты, относительно подавляются. Поэтому общий тембр гитары тесно связан с модальной структурой: если фундаментальная частота или овертон струны, соответствующей определенному шагу, оказывается близкой к модальной частоте, звук будет особенно громким, с быстрым и четким переходным ударом; наоборот, если нет резонансной поддержки вблизи определенного звука, он будет звучать слабо или иметь короткую выдержку. Хорошо продуманное распределение частот гитары должно охватывать диапазон струнного шага как можно более равномерно, с поддержкой мода от самых низких до самых высоких нот, чтобы обеспечить сбалансированный объем и однородный тембр в каждой звуковой зоне.

Идеальная гибкая струна (без жесткости изгиба), растягивающая струна с размахом L (напряжение T, плотность линии μ=ρA), малая поперечная вибрация отклонения удовлетворяет волновому уравнению:

\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\qquad c=\sqrt{\frac{T}{\mu}}

Фиксированная конечная граница u(0,t)=u(L,t) =0. Собственным решением является:

u_n(x,t)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos(\omega_nt+\varphi_n),\qquad \omega_n=\frac{n\pi c}{L}

Соответствующая частота составляет:

f_n=\frac{\omega_n}{2\pi}=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}},\qquad n=1,2,\dots

Реальные металлические струны имеют жесткость изгиба с использованием расширенного одномерного уравнения Эйлера-Бернулли:

\mu\frac{\partial^2u}{\partial t^2}+EI\frac{\partial^4u}{\partial x^4} =T\frac{\partial^2u}{\partial x^2}

где E — модуль Янга, а I — второй момент области. Собственная частота составляет приблизительно:

\omega_n\approx\frac{n\pi}{L}\sqrt{\frac{T}{\mu}} \sqrt{1+\frac{\pi^2EI}{TL^2}n^2}

f_n\approx\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}\sqrt{1+Bn^2},\qquad B=\frac{\pi^2EI}{TL^2}

B — коэффициент диссонанса, заставляя обертоны отклоняться целыми кратными.

В целом, структурные компоненты акустической гитары образуют сложную систему модальной вибрации через взаимную связь: струны обеспечивают возбуждение, а подставка соединяет возбуждение с верхней декой; верхняя дека, задняя и боковая панели образуют деревянную полость для обеспечения структурной эластичности; звуковое отверстие и внутренний воздух обеспечивают акустический резонанс полости. Вибрации всей системы соединяются с окружающим воздухом и в конечном итоге излучаются как звук. Качество гитары во многом зависит от распределения этих модальных частот и форм вибрации, а также от того, насколько хорошо они соответствуют частотам звучания струн. Во время процесса проектирования и настройки лютье будут обращать внимание на материальные и структурные параметры основных резонансных компонентов (таких как толщина верхней деки, истончение крепления, размер звукового отверстия и т. Д.), Чтобы отрегулировать модальную частоту и форму вибрации для формирования звуковых характеристик гитары.

Математическое моделирование модального анализа

Модальный анализ гитары обычно требует создания математической модели с помощью метода конечных элементов (FEM). Поскольку гитарная структура включает в себя несколько структур / сред, таких как тонкие пластины (верхняя дека, задняя пластина), раковины (боковые пластины), балки (брасирующие балки, грифа и т. Д.) и закрытые воздушные полости, более сложно точно имитировать. В модели конечных элементов, доска и задняя пластина часто дискретизируются в элементы оболочки или элементы пластины (учитывая анизотропные упругие константы древесины, потому что жесткость древесины вдоль направления зерна и перпендикулярно направлению зерна сильно отличается), боковые пластины могут быть определены как границы рамки с элементами оболочки, а крепежные балки в качестве жесткости могут быть смоделированы с элементами пучка или эквивалентными элементами оболочки. В модель также должна быть включена местная дополнительная жесткость по массе, такая как подставка. Для анализа акустических режимов необходимо смоделировать воздух внутри гитарной полости, например, используя конечные элементы звукового поля (жидкие элементы) для заполнения полости и устанавливая открытые граничные условия на звуковом отверстии для подключения к внешнему миру. Эта модель сцепления жидкостной структуры может одновременно вычислять естественный режим коробки деревянной конструкции и естественный режим воздушной полости, а также сопряженный режим двух. Однако вся модель вычислительно интенсивна, особенно когда она включает в себя радиационное звуковое поле во внешнем бесконечном пространстве, которое может быть дополнительно решено с помощью метода граничных элементов (BEM). Поэтому в исследованиях часто используется упрощение: например, сначала предполагается жёсткая коробка для вычисления частоты воздушного режима А0, а затем симуляция аэродинамической гибкости через концентрированные масс-пружины в структурной модели, или только с учётом первых нескольких сопряженных режимов и т.д., чтобы уменьшить вычислительную сложность.

Кривые резонанса с принудительной осцилляцией: горизонтальная ось является движущей частотой, разделенной на естественную частоту, а отношение D - демпфирование. Это модель, а не размеренный гитарный ответ. — Кривые резонанса с принудительной осцилляцией: горизонтальная ось является движущей частотой, разделенной на естественную частоту, а отношение D — демпфирование. Это модель, а не размеренный гитарный ответ.
Источник изображения:Geek3 · CC BY 3.0

Модель изгиба луча с конечными моментами M и материалом, длиной и параметрами поперечного сечения, используемыми для описания структурного изгиба.
Источник изображения:Никогуру · CC0

Более высокие режимы часто имеют больше узловых линий, но порядок, частота и форма должны быть определены для фактической структуры, а не заимствованы непосредственно из обычной пластины. Противоположные фазы влияют на интерференцию; излучение также зависит от пространственного масштаба относительно длины волны и скорости поверхности. Более высокие режимы не обязательно являются слабыми радиаторами или не имеют отношения к громкости. Усечение модели должно соответствовать целевой полосе и измерениям, а не предположению о том, что все выше 1000 Гц не имеет значения.

Модальная суперпозиция выражает ответ как сумму вкладов в подходящую линейную модель; разделение на классические реальные режимы также требует подходящих условий демпфирования. Ортогональность — это математическая зависимость в рамках фиксированной модели. Это не означает, что скобка или изменение материала могут самостоятельно настраивать один режим, не затрагивая другие. Структурные изменения обычно изменяют несколько частот, форм и уровней участия и требуют новых измерений или расчетов.

Вот взгляд на демпфирование, фактор качества и затухание. Фактор качества:

f_n\approx\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}\sqrt{1+Bn^2},\qquad B=\frac{\pi^2EI}{TL^2}

Q струны определяется комбинацией внутреннего трения материала, механического импеданса, соответствующего подставке, и радиационной связи с воздухом/панелью.

Типичные формы режима и их влияние на тембр

Акустическая гитара имеет множество режимов, распределенных по всему слышимому частотному диапазону. Ниже выбирается несколько типовых режимов для иллюстрации их характеристик формы вибрации и соответствующих частот, а также их вклада в тон гитары.

Хладни фигуры на металлической пластине: частицы обнаруживают узловые линии в демонстрации вибраций пластин, а не в измеренном гитарном режиме.
Источник изображения:Родриго Тецуо Аргентон; выставка: Estes Objethos Atelier · CC BY-SA 4.0

Акустическая гитара с медвежьей елкой сверху (вид спереди) — медвежья царапина

Резонанс с низким преобладанием воздуха соединяется с верхней и задней частью; его частота изменяется с объемом полости, звуковой скважиной и структурой. 80-120 Гц является примерным диапазоном для некоторых гитар, около E2 (82,41 Гц) до уровня ниже B2 (123,47 Гц), а не спецификацией приемки. Поток воздуха и фаза пластины зависят от частоты, режима и выбранных положительных направлений, а не от статической аналогии дыхания. Резонанс может улучшить излучение, увеличивая потерю энергии струны; более сильный бас не гарантирует более длительную поддержку.

Основной верхний режим не имеет фиксированной частоты, независимой от полости и спины. Связывание изменяет частоты и формы; некоторые заметные структурные резонансы происходят около 180-250 Гц, но для сравнения требуются идентифицированные инструменты, границы и методы возбуждения. Примечание, такое как G3 с частотой 196 Гц, не является универсальной целью качества, а значения 188/203 Гц не являются общими результатами. Излучение также зависит от скорости поверхности, фаз и помех.

Вообще говоря, к звучанию гитары способствуют режимы разных порядков: режимы низкого порядка (полость воздуха, основная верхняя дека и т.д.) определяют базовую кривую отклика и резонансные характеристики звука, режимы среднего порядка (формы режима в диапазоне нескольких сотен герц) обогащают тембр и проекцию среднечастотного диапазона, а режимы высокого порядка придают звуку уникальные обертоны и текстуру. Хорошо спроектированная гитара должна иметь эти режимы, хорошо распределенные и шатающиеся вдоль оси частот, чтобы избежать некоторых полей, не поддерживаемых резонансом или имеющих резонансы, которые слишком сложены на определенных частотах. Опытные лютье будут «настраивать» верхняя дека и заднюю пластину во время производства, чтобы их фундаментальные частоты режима избегали отношения целых кратных музыкальному звуку, и в то же время рассеивали частоты режима более высокого порядка, так что гитара имеет умеренную резонансную реакцию на ноты по всей грифе и получает сбалансированный и разнообразный тембр.

Ниже мы приводим некоторые математические объяснения плоскости панели и полости.

Винир аппроксимируется как изотропная тонкая пластина (предположение Кирхгоффа-Любви) с толщиной h, плотностью ρ, модулем Янга E и отношением Пуассона ν. Отклонение w(x,y,t) удовлетворяет:

D\nabla^4w+\rho_ph\frac{\partial^2w}{\partial t^2} +\tau D\nabla^4\!\left(\frac{\partial w}{\partial t}\right)=p(x,y,t)

в:

D=\frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}

D — жесткость изгиба пластины, eta — коэффициент структурных потерь, а p — разность давлений с обеих сторон пластины. Граничные условия определяются связями между кромкой, балками и боковыми панелями; фактическая панель с креплением представляет собой неоднородную анизотропную панель.

Модальная суперпозиция пишет:

w(x,y,t)=\sum_k\phi_k(x,y)\eta_k(t),\qquad M_k\ddot{\eta}_k+C_k\dot{\eta}_k+K_k\eta_k=F_k(t)

Среди них:

M_k=\iint\rho_p h\phi_k^2\,dS,\quad K_k=\iint D[\phi_{k,xx}^2+\phi_{k,yy}^2+2\nu\phi_{k,xx}\phi_{k,yy}+2(1-\nu)\phi_{k,xy}^2]\,dS,\quad F_k=\iint p\phi_k\,dS

Паттерн Chladni (песчаный метод) фактически показывает линии узлов (отражающие расположение ограничения / луча).

Для режима полости воздух в полости удовлетворяет следующему уравнению:

\nabla^2p-\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2p}{\partial t^2}=0

Звуковое отверстие гитары похоже на короткую полость грифа, а частота низкочастотного главного резонанса (Гельмгольца) удовлетворяет следующему уравнению:

f_H=\frac{c_0}{2\pi}\sqrt{\frac{A}{VL_{\mathrm{eff}}}}

Изменения в расположении и глубине звуковых отверстий будут влиять на эту частоту.

Затем рассмотрим сцепление. Занимая место, где подставка и верхняя часть находятся в контакте в качестве примера, струнная конечная поперечная скорость Va непрерывна с мостовой/верхней скоростью Vb. Уравнение силового баланса:

F_b(\omega)=Z_b(\omega)v_b(\omega)=-F_s(\omega)

в:

Y_b(\omega)=\frac{v_b}{F_b}

— допуск точки подставки (или механическая чувствительность), сумма линейного режима:

Y_b(\omega)=\sum_k \frac{i\omega\phi_k(\mathbf b)^2} {M_k\left(\omega_k^2-\omega^2+i2\zeta_k\omega_k\omega\right)}

На эквивалентное демпфирование на конце струны существенно влияет Yb: при приближении ω к режиму панели энергия сцепляется быстрее, то есть «некоторые звуки громче и короче».

Затем смотрим на сцепление панели с воздухом полости. Пусть нормальное поле скорости панели будет V n(x,y,ω) , скорость объема полости U cav и скорость объема акустического отверстия U hole удовлетворяют:

U_{\mathrm{cav}}(\omega)=\iint v_n\,\mathrm{d}S,\qquad U_{\mathrm{hole}}(\omega)=\frac{p_{\mathrm{cav}}(\omega)}{Z_{\mathrm{neck}}(\omega)}

Z_{\mathrm{neck}}(\omega)\approx i\omega\rho_0\frac{L_{\mathrm{eff}}}{A}

p_{\mathrm{cav}}(\omega)= \frac{U_{\mathrm{cav}}-U_{\mathrm{hole}}}{i\omega C_{\mathrm{air}}}

Комбинируя вышеупомянутые уравнения, можно получить классическую модель сцепления двух (или трех) степеней свободы, а также низкочастотный «режим доски», «режим полости», «антифазовый/в фазе» синтетический режим частоты и эффективность излучения.

Затем мы смотрим на звуковое излучение и громкость. Воспринимаемая громкость гитары связана с дальним звуковым давлением p∞. В частотной области нормальная скорость излучаемой звуковой мощности панели составляет приблизительно:

\Pi(\omega)\approx\frac{\rho_0c_0}{2}\iint \sigma(\mathbf r,\omega)\lvert v_n(\mathbf r,\omega)\rvert^2\,\mathrm{d}S

Среди них σ — эффективность излучения (связанная с числом волны k=ω/c 0, скоростью фазы пластинчатой волны и соответствующей степенью структурных волн и воздушных акустических волн). В низкой частоте в основном преобладают поршневой компонент (общая скорость громкости) и струя акустического отверстия; средние и высокие частоты вносятся режимами высокого порядка пластины.

Экспериментальное измерение и визуализация модальных форм

Для дальнейшего изучения и проверки вышеупомянутых форм гитарного режима ученые и лютье использовали различные экспериментальные методы для визуализации режимов вибрации.

Треугольная плита Хладни в Математеке: частицы собираются вдоль узловых линий, делая видимой форму режима. Это демонстрирует вибрацию пластины в целом, а не измеренный режим гитарного верхней деки.
Источник изображения:Родриго Тецуо Аргентон; выставка: Estes Objethos Atelier · CC BY-SA 4.0

Узор Хладни: мелкий песок собирается вдоль узловых линий вибрирующей верхней деки, раскрывая геометрию режима вибрации

крэдни доска

Метод Хладного: Самым классическим в истории является эксперимент с фигурой Хладни. Посыпьте мелкий песок или чайные листья на поверхность верхней деки и используйте громкоговоритель, чтобы подметать частоту, чтобы возбуждать всю гитару или отдельную верхнюю деку. На определенных частотах (резонансных частотах) вибрация вызывает встряхивание песчинок к линиям узла, образуя видимый паттерн вибрации. Этот метод прост в эксплуатации. Еще в 19 веке физик Хладни использовал его для наблюдения формы вибрации пластины, отсюда и ее название. Для гитар метод Кладни может измерять модальную частоту и форму вибрации верхней деки и задней пластины перед сборкой. Лютье используют эти шаблоны, чтобы судить о влиянии регулировок истончения или крепления верхней деки: симметричная верхняя дека создает симметричный рисунок, а необычно асимметричные линии узлов могут указывать на неравномерную материальную или структурную асимметрию. Следует отметить, что модальные частоты независимой панели точно не соответствуют модальным частотам собранного инструмента, но этот метод может обеспечить полезную обратную связь в процессе производства. На рисунке Хладного в основном показана топология узлов режимов, которая ограничена количественными исследованиями, но было доказано, что она очень полезна для корректировки резонанса в реальной изготовлении струнных инструментов.
Метод форс-молота: Запись модальной информации через патч датчика ускорения и молот возбуждения
Голографическая интерферометрия и ESPI: лазерная голографическая интерфеометрия — еще одна технология для высокоточной визуализации вибрационных форм. Путем интерферометрического измерения тонких смещений вибрирующей поверхности голограмма может отображать равный профиль смещения вибрации в виде пограничного рисунка. Таким образом, пространственное разрешение чрезвычайно высокое, и могут быть четко изображены сложные формы вибраций. Электронная спеклевая интерферометрия (ESPI) — это цифровая реализация голографической интерферотерии, которая также позволяет в режиме реального времени наблюдать вибрационные режимы. Исследователи использовали голографические помехи для проведения модальных измерений на музыкальных инструментах, таких как гитары, и полученные формы вибрации хорошо соответствуют результатам расчета конечных элементов. Например, Chatziioannou et al. проверили точность моделируемых модальностей с помощью ESPI на таких инструментах, как двойной бас и скрипка. Для гитар аналогичные методы могут быть использованы для наблюдения за вибрационными узорами верхней деки в различных режимах, включая тонкое локальное деформирование и фазовые различия, которые трудно увидеть непосредственно невооруженным глазом. Преимущество голографической интерференции заключается в том, что она может получать непрерывную полнопользовательскую информацию без размещения точек на структуре. В настоящее время это один из методов модальной визуализации с самым сильным пространственным разрешением.
Экспериментальный модальный анализ и измерение акустического излучения: В дополнение к непосредственному наблюдению форм режима, исследователи часто объединяют измерения импеданса с измерениями звукового поля. Механическое допускание или импеданс на подставке можно измерить, применяя единичную силу и регистрируя скорость вибрации, которая выявляет модальные частоты и демпфирование. Микрофонные массивы могут одновременно отображать излучаемое звуковое поле и идентифицировать режимы с высокой эффективностью излучения. Эти измерения помогают определить, какие режимы наиболее сильно влияют на звук гитары и направляют улучшения дизайна.

Модальное испытание гитары: ударно-молотовое возбуждение со спектрами FFT и формой режима на экране

Модальное тестирование

Сканирующий лазерный виброметр для измерения вибрации гитары

Модальное тестирование

Таким образом, с помощью современных экспериментальных методов мы можем «видеть» абстрактные модальные формы и соединять теоретические модели с реальным поведением инструмента. Эти инструменты не только проверяют существование и форму каждого из упомянутых выше режимов гитары (например, измеренный режим дыхания и режим верхней деки гитары очень согласуются с расчетными прогнозами), но также обеспечивают научную основу для производства и улучшения гитары. В настоящее время, в дополнение к эмпирическим суждениям, люди все чаще ссылаются на результаты модальных тестов для точной настройки музыкальных инструментов, чтобы сделать их частотную реакцию более идеальной. Секрет акустического тембра гитары заключается в богатых и разнообразных формах режима: благодаря теоретическому анализу моделирования и экспериментальной визуализации мы углубили наше понимание того, как эти режимы вибрируют в различных частотных диапазонах и соединяются друг с другом, и приблизились к объяснению взаимосвязанной научной и художественной проблемы «почему хорошая гитара звучит очаровательно».

Эта статья является оригинальным контентом. Перепечатка должна быть авторизована заранее, а автор и источник оригинального текста должны быть отмечены на видном месте. Несанкционированная модификация контента не допускается.

Условия применимости формул: ωₙ — собственная угловая частота без затухания; ωd,n = ωₙ√(1−ζₙ²) — частота свободных колебаний при слабом затухании (0 ≤ ζₙ < 1). Амплитуда убывает как exp(−ζₙωₙt), а энергия — как квадрат амплитуды. Оценки Q ≈ 1/(2ζₙ) и ширины полосы на уровне половинной мощности применимы к слабо затухающим различимым модам, а не к произвольному перекрывающемуся пику. Приближение жёсткой струны предполагает однородные свойства, постоянное натяжение и шарнирное закрепление концов. Относительно фактической первой моды fₙ/f₁ = n√[(1+Bn²)/(1+B)]; эталонная частота идеальной гибкой струны отличается от f₁ с поправкой на жёсткость.

Источники и дальнейшее чтение

Эта интерактивная иллюстрация сочетает заданные отношения частот и синусоидальные формы, чтобы объяснить узлы, пучности и масштабирование параметров. Она не вычисляет собственные значения функций Бесселя для свободной круглой пластины и не показывает измеренную моду гитары. Цвет обозначает условное перемещение, а не измеренное звуковое давление. Для однородной изотропной тонкой пластины частота также зависит от толщины, радиуса, коэффициента Пуассона и граничных условий. Только при фиксированных значениях этих параметров зависимость f ∝ √(E/ρ) описывает тенденцию масштабирования. Примерные значения и формы не являются данными приёмочного контроля производства.

Кирхгофф — энергия кривизны пластины любви · Модель пластины Кельвина-Войга

Основы колебательных мод гитары

Основы колебательных мод гитары

Основные модальные концепции

Акустическая гитарная структура и основные резонансные компоненты

Математическое моделирование модального анализа

Типичные формы режима и их влияние на тембр

Экспериментальное измерение и визуализация модальных форм

Источники и дальнейшее чтение

О файлах cookie