吉他的聲學建模初步

引言

原聲吉他把撥弦輸入的機械能，經琴橋、面板、背側板與空氣腔的耦合轉為可輻射的聲能。阻抗是力與速度、或聲壓與體積速度等變量的關係，不是能量的屬性；不同類型的阻抗需註明單位和接口。

本分析將從系統的最基本驅動單元 振動的琴弦 出發，探討其作為初始信號發生器的物理機制。隨後，將深入研究吉他琴體，闡釋其如何作為一個精密的機械濾波器和聲學放大器，對琴弦產生的原始信號進行塑造和增強。在此基礎上，我們將吉他視為一個由琴弦、面板、背側板及內部空氣腔構成的耦合振動系統，分析各組件間的動態相互作用如何催生出樂器獨特的共鳴特性。此外，材料科學在吉他聲學中扮演着至關重要的角色，本文將量化分析不同音木的物理參數如何決定樂器的音色。最後，我們將跨越物理聲學的範疇，進入心理聲學的領域，探討這些客觀的物理現象最終是如何在人類聽覺系統中被解碼和感知為具有豐富情感和色彩的音樂。通過這一系列層層遞進的分析，本文旨在為吉他的聲學特性提供一個初步的科學模型，便於讀者更好理解這個樂器。

第一部分：原動力：振動琴弦的物理學

在小振幅且結構狀態穩定的近似下，可以用線性時不變模型描述琴體對琴橋輸入的響應，並用傳遞函數或卷積計算輸出。琴橋同時反過來影響琴弦的衰減；大振幅、碰品、摩擦及環境變化不能簡單視為固定的 EQ。

1.1 音調的起源：波的傳播與反射

當吉他琴弦被撥動時，包含了多種頻率的橫波會沿着琴弦向兩個方向傳播 。這些波在到達兩端固定點（琴枕和琴碼）時會發生反射。由於端點是固定的，反射波會發生相位反轉，即波形上下顛倒。這一相位反轉是形成駐波的關鍵，它確保了在固定端點處始終是位移為零的節點。這些方向相反但形態相同的入射波與反射波相互疊加，產生干涉現象。

1.2 駐波與諧波序列

在駐波模式下，琴弦上存在一些始終保持不動的點（節點）和振幅最大的點（波腹），整個波形看起來像是“靜止”的。

對於一根長度L的琴弦，只有當整數個半波長恰好等於琴弦長度時，才能形成穩定的駐波。這一物理條件可以用公式表達為：

\lambda_n = \frac{2L}{n}

固定端帶來的離散模態條件導致琴弦只能以一系列離散的特定頻率振動，這些頻率構成了諧波序列：

• 基頻（n=1） ：這是最低的振動頻率f₁，λ₁=2L₁人耳主要將基頻感知為音符的音高。
• 諧波/泛音(n>1) ：頻率為基頻整數倍的更高頻率振動，即 f_n= n*f₁。這些高頻成分通常不會被感知為獨立的音高，而是與基頻融合，共同構成了琴弦獨特的音色。諧波的存在及其相對強度，是區分豐富、飽滿的樂音與單調、純粹的正弦波音的關鍵 。

固定端邊界使理想弦具有離散的固有頻率。這是經典波動系統的模態離散，不涉及量子力學意義的能量量子化。真實琴弦的剛度和端部條件還會造成不諧性。

1.3 音高控制方程：調音的物理學

振動頻率f由波速ν和波長λ共同決定，其關係遵循普適的波動方程：f = ν/λ。將駐波的波長條件代入，可得到第n次諧波的頻率公式：

f_n = \frac{nv}{2L}

在琴弦上，波的傳播速度ν並非恆定，它取決於琴弦自身的物理屬性：張力T和線密度μ（單位長度的質量）。

v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}

將波速表達式代入頻率公式，我們便得到了描述吉他琴弦振動頻率的完整物理模型：

f_n = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}

理想弦公式假定均勻線密度、恆定張力、小振幅及固定端，並忽略彎曲剛度。真實繞弦的線密度不能簡單按均質圓柱 ρA 計算；按弦伸長、端部柔性、補償及材料不諧性也會改變頻率。簡化模型用於解釋趨勢，不能作為音準或實際演奏手感的完整預測。

• 改變長度 ：當演奏者將琴弦按在某一品絲上時，琴弦的有效振動長度變短，根據公式，頻率f升高，音高也隨之升高。這是演奏旋律的主要方式。
• 改變張力 ：轉動弦鈕可以改變琴弦的張力。增加張力T會提高波速和頻率，從而升高音高 。這是為吉他調音的基本原理。
• 改變線密度 ：吉他的六根弦粗細不同，材質也可能不同。較粗的低音弦具有更大的線密度μ，在相同的有效長度和張力下，其波速更慢，基頻更低 。

這個核心方程揭示了樂器設計中各參數之間深刻的內在聯絡。為了實現理想的音域，必須在琴弦的有效長度（弦長）、材料（影響μ）以及結構所能承受的張力T之間做出權衡。例如，要在不使琴弦過鬆（低T）或過長（大T）的前提下獲得更低的音符，唯一的選擇就是增加其單位長度的質量。這正是為什麼低音弦更粗，並且常常採用在核心線外纏繞金屬絲的結構來增加質量。因此，制琴的工作不僅是藝術創作，更是在求解一個多變量的物理方程，以達到聲學和結構上的最佳平衡。

1.4 初始頻譜

撥弦的方式和位置（即“激勵機制”）決定了初始能量在基頻和各次諧波之間的分配。在琴弦中部撥弦會主要激發基頻，聲音較為柔和、飽滿；而靠近琴橋的位置撥弦則會激發更多的高次諧波，產生的聲音更為“明亮”或“尖銳” 。這個由一系列諧波頻率及其初始振幅構成的集合，被稱為初始頻譜，它是吉他琴體將要處理的原始聲學信號。

更詳細的琴弦振動可視化請點擊這裏查看。

第二部分：聲學引擎：作為共鳴器和輻射體的吉他琴體

琴體是被動的耦合共振與輻射系統，沒有電子電源也不會創造能量。它通過提高與空氣的耦合效率，使撥弦能量更容易被聽見，同時塑造頻譜、衰減與方向性。

2.1 面板：主要的振動膜片

吉他琴體的首要作用是放大琴弦的聲音。單獨振動的琴弦由於其極小的表面積，只能擾動極少量的空氣，因此聲音非常微弱。面板，也稱為音板（Soundboard），是聲音產生過程中最關鍵的部件。它像一個巨大的膜片，通過琴橋和琴碼接收來自琴弦的振動能量。其廣闊的表面積能夠驅動大量的空氣，從而比琴弦本身更有效地向外輻射聲波。

用於製作面板的木材（如雲杉、雪松）通常因其高“剛度-重量比”而被選中。這意味着它們既能高效地振動，又能承受來自琴弦的巨大靜態拉力而不發生過度形變。

2.2 音梁結構與振動模態控制

音梁是粘合在面板內側的木質支撐結構，它承擔着兩個關鍵且時常相互矛盾的功能：

1. 結構支撐：音梁幫助面板承受琴弦經琴橋施加的力和力矩。總弦張力取決於規格、定弦及有效弦長，應以 N 或 kgf 表示，不把 80 kg 當作所有琴的載荷。
2. 聲學影響：音梁同時改變剛度、質量和模態形狀，繼而影響導納、能量損耗和聲輻射。不能把“剛性保證延音、柔性保證音量”作為通用定律，需結合琴弦與整琴測量。

音梁佈局是結構設計的一部分。調整音梁通常會同時影響多個模態，效果取決於尺寸、材料、膠接和邊界；各種音梁名稱本身不保證某種固定音色。

常見的音梁模式及其聲學效果包括：

• X型音梁（X-Bracing）：幾乎是鋼弦吉他的行業標準。交叉的“X”形結構在琴橋下方提供了堅固的支撐，同時允許面板的不同區域自由振動。它以產生均衡的音色而聞名，通過有效控制主要的振動模態，為低音和高音提供良好的響應。附加的“音調梁”（Tone Bars）和“指狀音梁”（Finger Braces）則進一步微調各模態的平衡。
• 扇形音梁（Fan Bracing）：古典（尼龍弦）吉他的標準配置。扇形排列的音梁從音孔下方呈放射狀散開。這種設計更輕、更靈活，適應尼龍弦較低的張力，並能有效激發面板的單極（呼吸）振動模式，有助於形成古典吉他溫暖、飽滿的音色。
• V-Class音梁：Taylor的一項現代創新設計，旨在分別控制面板中心線（與琴弦平行）的剛性和橫向的柔性。據稱，這種設計通過剛性來增加延音，通過柔性來增加音量，並通過形成更有序的振動模式來改善音準。
• K音梁：Kepma通過拓撲優化和激光模態測試創造的兼具有效抵抗琴弦負載琴頸前傾、面板鼓包塌陷、輕量化、對手指反饋敏感的特性。

2.3 振動的可視化：克拉尼圖形與振動模態

吉他面板在不同共鳴頻率下的複雜振動模式，可以通過克拉尼圖形（Chladni Patterns）進行可視化。實驗中，在面板上撒上細沙，然後用特定頻率的信號驅動面板振動。沙粒會從振動劇烈的波腹區域被彈開，聚集在靜止的節點線（Nodal Lines）上，從而清晰地揭示出該頻率下振動模態的幾何形狀。這就是最初的“模態可視化”。

吉他面板的幾個關鍵振動模態包括 ：

• 單極模態（Monopole Mode）：也稱“呼吸模態”，整個面板下半部像一個整體一樣同相地向內或向外運動。這種模式在驅動空氣方面效率極高，對低頻響應至關重要。
• 交叉偶極模態（Cross-Dipole Mode）：面板下半部的左右兩側以相反方向運動（一側向內，另一側向外）。
• 縱向偶極模態（Long-Dipole Mode）：面板的上下部分以相反方向運動。

當然，隨着工程科學的發展，我們現在有了更多強大的工具，可以更快更準確的知道模態振型和頻率。

2.4 空氣腔與亥姆霍茲共鳴

吉他琴體內部的空氣腔本身就是一個共鳴器，其物理原理與對着瓶口吹氣發聲的現象相同，這被稱為亥姆霍茲共鳴（Helmholtz Resonance） 。

在這個模型中，音孔中的一小團空氣可被視為一個“質量塊”，而琴體內部的大體積空氣因其可壓縮性而扮演着“彈簧”的角色 。該系統擁有一個特定的自然共鳴頻率，其計算公式近似為：

f_H \approx \frac{v}{2\pi} \sqrt{\frac{A}{L_{eff} \cdot V}}

其中，v 是空氣中的聲速，A 是音孔的面積，V 是琴體的容積，Leff​ 是音孔頸部的有效長度（包含了端口校正）。

低階空氣主導共振與面板、背板耦合，頻率因琴體體積、音孔和結構而變。80–120 Hz 是部分吉他的示例區間，約從 E2（82.41 Hz）附近到 B2（123.47 Hz）以下，不是通用驗收範圍。音孔氣流與面板運動的相位取決於頻率、模態與所定義的正方向，不能簡單從靜態“呼吸”類比推斷。共振可能提高某頻段的輻射，但也可能加快琴弦能量流失；增強低音不等於延音一定更長。

吉他的低頻響應是由兩個不同但緊密耦合的機制共同產生的：一是面板的機械式“呼吸”（單極模態），二是空氣腔的氣動式“泵”（亥姆霍茲共鳴）。這兩個系統協同工作，振動的面板驅動空氣腔發生共鳴，從而產生原聲吉他特有的飽滿低音。

2.5 背側板的作用

儘管面板是主要的聲輻射體，但背板和側板並非惰性結構。它們通過空氣腔和琴體框架的傳導，響應面板的振動而振動 。背板擁有其自身的振動模態，並與面板和空氣腔發生耦合，尤其是在低頻段。有時背板與面板同相振動（同時向外運動），有時則反相振動（一個向內一個向外），這會顯著影響樂器整體的聲音輻射效率和方向性 。

這些樹種常有不同的密度、剛度和損耗分佈，但同種木材也存在明顯個體差異。常見的“溫暖”“泛音豐富”等詞是試聽經驗描述，不是每塊材料必然帶來的結果。背側板還通過結構和空氣耦合參與振動，不能僅用高密度“反射”、低密度“吸收”概括。請結合厚度、音梁、邊界、琴弦與實測響應評價整琴。

這種分工揭示了吉他聲音產生的二元性：低頻聲音主要由面板的整體運動和空氣腔的共鳴主導，而高頻聲音則更多地依賴於面板上靠近琴橋區域的、更復雜的局部振動模式。這意味着，影響整個琴體的設計決策（如琴體容積）將主要改變低音特性，而影響琴橋周圍局部結構的設計（如音梁的削切）則會主要調整高音特性。

第三部分：集成系統：耦合、阻抗與能量傳遞

本部分將前述內容進行綜合，將吉他視為一個各部件動態交互的集成系統。分析的重點從單個組件的功能轉向它們如何協同工作。

3.1 吉他作為耦合振動系統

在限定的低頻範圍內，可用少數等效質量、剛度和阻尼構建近似耦合模型。有效範圍應通過實測響應檢驗；高階模態、空間聲場及非線性行為通常需要更完整的模型。

1. 面板：可被建模為一個具有特定剛度和質量的振子。
2. 背板：第二個質量-彈簧系統（當然側板也很重要，但再次不展開討論）。
3. 空氣腔：音孔中的“空氣栓塞”是質量，琴體內部空氣的可壓縮性是彈簧（亥姆霍茲模型）。

這些振子並非獨立工作。面板的運動會壓縮內部空氣，從而對背板和音孔空氣栓塞施加作用力；同樣，背板的運動也會改變腔內氣壓。這種相互作用被稱為耦合（Coupling） 。

耦合作用導致了面板、背板和空氣腔各自的獨立共鳴頻率合併，形成了全新的、屬於整個系統的共鳴模式。通常，主要的空氣共鳴和麪板基頻共鳴會“分裂”成兩個顯著的低頻響應峰值。在這兩種模式下，面板、背板和空氣流動的相位關係決定了聲音的輻射效率。

實驗證據明確地證實了這種耦合關係：當通過部分堵塞音孔來改變亥姆霍茲共鳴頻率時，吉他低頻區域的兩個主要共鳴峰會同時發生位移，這表明它們並非獨立存在，而是耦合系統的產物。因此，吉他的標誌性音色並非各部件聲音的簡單疊加，而是它們之間複雜動態交互所產生的“湧現”特性。這意味着對吉他的建模必須將其視為一個整體，而非孤立組件的集合。

3.2 阻抗匹配與能量傳遞

材料一維縱向行波的特性阻抗可寫為 z = ρc = √(Eρ)，單位為 Pa·s/m，需指定傳播方向與模型。這不同於琴橋的頻率相關機械阻抗 Z_b(ω) = F(ω)/v(ω)，單位為 N·s/m。前者不是整塊木板“容易啟動”或反射音色的直接指標；板的幾何、支撐、模態、損耗及與空氣的耦合也必須考慮。 琴弦向琴體傳遞能量越快，某些頻段可能越響，但琴弦衰減也可能越快。材料內耗、琴橋機械導納和聲輻射損耗共同影響結果，不能只憑密度、琴橋重量或背側板樹種推斷延音。請在相同琴弦、調音、撥弦方法和錄音條件下比較起音、頻譜與衰減。

3.3 完整的振動與輻射鏈

整個發聲過程可以概括為以下步驟：

1. 激勵：演奏者撥動琴弦，建立起一個具有特定基頻和初始諧波頻譜的駐波。
2. 傳輸：琴弦的振動通過琴碼對琴橋施加一個扭矩，導致琴橋發生搖擺和扭轉運動。
3. 換能與濾波：琴橋驅動面板，將振動能量傳遞過去。面板及其音梁系統以其固有的振動模態進行響應，這相當於對原始的琴弦信號進行了一次機械濾波—放大了接近其共鳴頻率的信號，同時衰減了其他頻率的信號。
4. 系統耦合：面板的振動與內部空氣腔及背板發生耦合，激發了整個系統的耦合共鳴模式（亥姆霍茲共鳴和琴體模態）。
5. 輻射：聲波從多個聲源輻射到周圍空氣中：

• 振動的面板表面（最主要的聲源，尤其是在中高頻）。
• 音孔處振盪的空氣柱（低頻的主要聲源，由亥姆霍茲共鳴驅動）。
• 振動的背板表面（對整體聲場亦有貢獻）。

由於吉他不同部分可能存在相位差（例如，面板上半部向外運動，下半部向內運動），它們輻射的聲波會在空間中發生干涉。這導致吉他的聲場是各向異性的，即在不同方向和距離上聽到的聲音強度和音色會有所不同 。

第四部分：材料的影響：音木的科學

本部分將抽象的物理模型與樂器製造的物質基礎—木材—聯絡起來，量化分析木材的選擇如何成為聲學模型中的一個基本參數。

4.1 音木的關鍵物理參數

木材的聲學性能主要由以下幾個關鍵的機械特性決定 ：

密度（ρ）：單位體積的質量（kg/m3）。密度較低的木材通常更適合做面板，因為它們更容易被驅動振動 。

楊氏模量（E） 或彈性模量：衡量材料的剛度，即抵抗彎曲變形的能力。高的楊氏模量允許面板在做得更薄、更輕的同時，仍保持足夠的剛性來高效傳遞振動並抵抗琴弦的張力 。木材中的聲速與 (E/ρ)^0.5 成正比。

材料內損耗：tanδ 描述指定條件下的材料損耗，不是衰減時間本身。在其他條件相同時，較高損耗可降低某些共振峰並加快相關模態衰減；整琴延音還受聲輻射、琴橋耦合、空氣與端部損耗影響。

聲輻射係數 R = c/ρ = √(E/ρ³) 是選材中使用的材料指標，不是無量綱的整琴聲能轉換效率；其單位為 m⁴/(kg·s)，且應說明 E 的方向和測量條件。木材試片指標不能直接預測完成吉他的音量、延音或“檔次”。面板的實際輻射效率還與尺寸、厚度、振型、聲波波長和耦合有關。

對音木的選擇，本質上是一個多參數優化問題。目標並非尋找單一“最佳”木材，而是為特定部件的功能需求，找到具有最佳性能組合（密度、剛度、阻尼）的材料。例如，一種優秀的面板木材可能因硬度不足而不適合做指板，反之亦然。這使得制琴工藝成為一門精密的材料工程學。

4.2 常見音木的比較分析

面板（Tops）：通常選用高剛度-重量比的軟木。

雲杉：常用於面板，選材重視方向性比剛度、損耗和尺寸穩定性。密度及模量數值應註明樹種、含水率、取樣和測試方向，不能把未註明條件的單一數值作為通用材料常數。

西部紅雪松：是常見面板材料之一，其參數分佈與雲杉不同。輕觸響應、動態或“溫暖”等整琴特徵還取決於厚度、音梁、琴弦與激勵；不能僅憑密度或模量給出保證。

背側板（Back and Sides）：通常選用密度大、剛性好、反射性強的硬木。

琴頸與指板（Necks & Fretboards）：選擇標準是硬度、密度和穩定性，以抵抗琴弦張力並耐磨損。

桃花心木、楓木：因其強度和穩定性而成為常見的琴頸材料 。

烏木、玫瑰木：因其高密度、高硬度和順滑手感而被用作指板材料 。

4.3 常見音木的聲學與機械性能

下表整合了多種常見音木的關鍵物理參數，以便進行直接比較。

4.4 各向異性：木材的方向性

木材是一種各向異性（Anisotropic）材料，這意味着它的物理性質在不同方向上（縱向、徑向、切向）是不同的 。木材沿紋理方向（縱向）的剛度和強度遠高於橫跨紋理的方向。因此，聲波沿紋理的傳播速度也快得多。

徑切常用於面板以控制紋理方向和橫向尺寸變化，但不是保證最大音量或“最快能量傳遞”的條件。木材是正交各向異性材料，應同時考慮縱向、徑向、弦向參數和剪切模量；結構彎曲剛度還受厚度、拱度和音梁影響。最適合的切向和厚度取決於具體設計與實際材料檢測。

第五部分：從物理波到聽覺感知：吉他音色的心理聲學

最後一部分將彌合物體物理學與聽衆主觀體驗之間的鴻溝，解釋聲波的物理屬性如何被大腦解碼為具有音樂性的音色。

5.1 音色：聲音的身份標識

音色是聽覺感知的一個屬性，它使聽者能夠區分兩個音高、響度和持續時間都相同的聲音 。它常被描述為聲音的“色彩”或“質感”。

音色是一個多維度的感知概念，但其物理基礎主要由聲波的兩個特徵決定：

1. 頻譜包絡（Spectral Envelope）：能量在諧波序列中的分佈情況。諧波的數量及其相對振幅共同決定了頻譜的形狀。一個富含高次諧波的聲音與一個主要由基頻構成的聲音，在聽感上截然不同 。
2. 時間包絡：起音瞬態、衰減以及不同頻段隨時間的變化參與音色感知。ADSR 是合成器常用的描述框架；一次撥弦的原聲吉他通常持續衰減，並沒有必須存在的恆定 Sustain 平臺。

音色並非僅僅由靜態的諧波構成決定，它更像是一個隨時間動態變化的“聲學指紋”。音符最初始的、通常帶有噪聲的複雜瞬態過程，包含了大量被大腦用於識別樂器來源的資訊，其重要性甚至超過了音符的穩定持續部分。這解釋了為什麼許多合成器音色如果僅僅模擬了諧波頻譜而忽略了對起音瞬態的精確建模，聽起來會感覺“假”或缺乏真實感。

5.2 “溫暖”與“明亮”的物理基礎

在音樂和音響領域中，諸如“溫暖”（Warm）和“明亮”（Bright）這類常見的主觀描述詞，實際上可以對應到頻譜的特定物理特徵上 。

• 明亮（Brightness）：與中高頻及高頻區域（例如，大於4-6 kHz）的能量佔比較高相關。一個“明亮”的聲音具有較高的頻譜質心（頻譜的“重心”），高次諧波突出，常被描述為“清晰”、“清脆”或有“光澤感” 。在靠近琴橋處撥弦，產生的聲音就更明亮。
• 溫暖（Warmth）：常用於描述偏重中低頻、較少尖銳高頻的聽感，但並沒有適用於所有錄音的固定頻段定義。不能僅由玫瑰木等樹種名稱推導這種感覺。

這些看似感性的音樂術語並非隨意使用，它們是人類對客觀物理現象的一種共通的、啟發式的感知標籤。“明亮”是對高頻譜質心的可靠描述，“溫暖”則代表着中低頻能量的充沛。這為制琴師和音樂家的經驗性語言提供了科學依據，使得他們的手工藝知識能夠被翻譯成物理學和工程學的語言進行分析和傳承。

5.3 音色空間：感知的映射

心理聲學研究採用 多維標度法（Multidimensional Scaling, MDS）等技術來構建“音色空間”。在這些實驗中，受試者對不同樂器聲音的相似性進行評分。算法隨後將這些聲音在多維空間中表示為點，點與點之間的距離對應於它們在感知上的差異程度 。

音色空間的維度代表了人類感知音色時最顯著的特徵。研究一致表明，這些維度主要與以下物理量相關：

1. 頻譜質心（對應“明亮度”）：這是最主要的維度，用於區分“暗淡”和“明亮”的聲音。
2. 起音時間：用於區分具有尖銳、打擊樂般起音的聲音（如撥動的吉他）和起音柔和的聲音（如拉奏的小提琴）。
3. 頻譜不規則性/流動性：衡量聲音訊譜中噪聲成分的多少以及頻譜隨時間變化的程度。

結論

本文介紹了理想弦、琴體耦合、材料參數及部分心理聲學概念。它提供建模入門的假設與思路，不能代替完整的側板、琴頸、輻射和非線性模型，也不能直接用於單把吉他的品質評分。

因此，對吉他進行聲學建模並非一個簡單的單一方程問題，而是一個涉及力學、材料科學、流體動力學和人類感知的多領域、耦合系統問題。對這些物理原理的深入理解，不僅能揭示現有樂器的奧祕，也為未來樂器的設計與創新提供了堅實的科學基礎。

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公式使用條件：ωₙ 表示無阻尼固有角頻率，ωd,n = ωₙ√(1−ζₙ²) 是欠阻尼自由振動的角頻率（0 ≤ ζₙ < 1）。振幅包絡按 exp(−ζₙωₙt) 衰減，能量按其平方衰減。Q ≈ 1/(2ζₙ) 和半功率帶寬法用於輕阻尼、可分辨的模態；重疊模態不能直接套用單峰讀數。含彎曲剛度的弦頻率公式採用理想均勻弦、張力恆定及簡支端近似；相對於實際第一階頻率，fₙ/f₁ = n√[(1+Bn²)/(1+B)]，不能把公式裏的理想柔性弦基準頻率誤當作已含剛度的 f₁。